Matematik

Matematik (Græsk mathema: videnskab, at lære; mathematikos: glad for at lære) er studiet af mønstre i mængde, struktur, ændringer og rummet. I den moderne defintion er det undersøgelsen af axiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik som det fælles udgangspunkt. De specifikke strukturer der undersøges har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken, men matematikere definere og undersøger også strukturer udelukkende for matematikkens egen skyld, for eksempel fordi de finder ud af at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af struktur, rum og ændring.

Studiet af struktur starter med tallene, i begyndelsen de familiære naturlige tal og heltallene. De regler der gælder for aritmetiske operationer er optegnet i elementær algebra, og de dybere egenskaber ved heltallene er studeret i talteori. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige koncept vektorer, der er generaliseret til vektor rummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene struktur og rum.

Studiet af rummet starter med studiet af geometri, først den euklidiske geometri og trigonometri i det familiære tredimensionale rum, men senere også generaliseret til ikke euklidisk geometri som spiller en central rolle i den generelle relativitetsteori. De moderne områder differentiel geometri og algebraisk geometri generalisere geometri i forskellige retninger: differentiel geometri fremhæver koncepterne om kordinatsystemer, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. Gruppe teori undersøger på en abstrakt måde konceptet geometri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. Topologi giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på konceptet kontinuitet.

At forstå og beskrive ændringer i målbare størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og calculus er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale koncept man bruger til at beskrive en variabel der ændrer sig er en funktion. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet differential ligninger. Tallene man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder er de reelle tal, og det detaljerede studie af deres egenskaber er kendt som reel analyse. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til komplekse tal, som er studeret i kompleks analyse. Funktionsanalyse fokuserer opmærksomheden på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet kvantemekanik.

For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament, udviklede man områderne sæt teori, matematisk logik og model teori.

Da computere i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til emråderne beregnelighed og informationsteori. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk datalogi.

Computere har også hjulpet til ved emner som kaos teori, som handler om at mange dynamiske systemer i naturen adlyder love der gør at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien. Kaos teori er tæt forbundet med fraktal geometri.

Et vigtigt område i anvendt matematik er sandsynlighed og statistik, som muliggør beskrivelse, analyse og forudsigelse af tilfældige fænomener og er brugt i alle videnskaber.

Numerisk analyse undersøger metoder til at udføre beregninger på computer og diskret matematik er det fælles navn for de matematisk